수치 해석: 크기 측정: 벡터 및 행렬 노름

반복적 행렬 대수학에서 우리는 근사값이 정확한 해에 가까워지고 있는지 판단하기 위해 벡터와 행렬의 '크기'를 정량화할 수 있는 엄밀한 수학적 틀이 필요합니다. 이러한 척도는 오차를 제한하고 수렴을 보장하는 특정 대수적 성질을 유지하면서 고차원 배열을 음이 아닌 실수로 매핑합니다.

노름의 공리적 기초

정의 7.1: 벡터 노름

$\mathbb{R}^n$ 위의 벡터 노름 $\|\cdot\|$는 네 가지 조건을 만족해야 합니다:

비음성: $\|\mathbf{x}\| \geq 0$
정의성: $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x} = \mathbf{0}$
절대 동차성: $\|\alpha \mathbf{x}\| = |\alpha| \|\mathbf{x}\|$
삼각 부등식: $\|\mathbf{x} + \mathbf{y}\| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$

주요 척도: $l_2$ 및 $l_\infty$

정의 7.2에 따르면 정의 7.2수치 해석에서 가장 중요한 노름은 다음과 같습니다:

유클리드 노름 ($l_2$): $\|\mathbf{x}\|_2 = \{ \sum_{i=1}^n x_i^2 \}^{1/2}$. 기하학적으로 원점까지의 최단 거리입니다.
최대 노름 ($l_\infty$): $\|\mathbf{x}\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$. 이는 단일 최대 성분의 크기를 포착합니다.

이 정의들은 정확한 해 $\mathbf{x}$와 근사값 $\mathbf{y}$ 사이의 거리를 $\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$로 정의할 수 있게 해줍니다(정의 7.4).

행렬 노름과 유도된 확대

행렬 노름은 다섯 번째 '하위 곱셈성' 성질(정의 7.8)을 추가합니다: $\|A B\| \leq \|A\|\|B\|$.

정리 7.11: 최대 행 합

$n \times n$ 행렬 $A$에 대해 자연스러운 $l_\infty$ 노름은 절대 행합의 최댓값으로 계산됩니다: $$\|A\|_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|$$

실습 예제: 벡터 및 행렬 계산

$\mathbf{x} = (-1, 1, -2)^t$ 및 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 5 & -1 & 1 \end{bmatrix}$를 고려하세요.

벡터 노름

$\|\mathbf{x}\|_\infty = \max(|-1|, |1|, |-2|) = 2$.
$\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6} \approx 2.449$.

행렬 $l_\infty$ 노름

행 1: $|1|+|2|+|-1|=4$
행 2: $|0|+|3|+|-1|=4$
행 3: $|5|+|-1|+|1|=7$
결과: $\|A\|_\infty = 7$.

🎯 핵심 원리

노름 간에 크기의 구체적인 '형태'가 달라지지만, 정리 7.7 동치성을 보장합니다: $l_\infty$ 노름에서의 수렴은 $l_2$ 노름에서의 수렴을 의미하며 그 반대도 마찬가지입니다.

$\|\mathbf{x}\|_\infty \leq \|\mathbf{x}\|_2 \leq \sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_\infty$

질문 1

어떤 성질이 행렬 노름(정의 7.8)을 일반 벡터 노름과 구별합니까?

절대 동차성: ||αA|| = |α| ||A||

하위 곱셈성: ||AB|| ≤ ||A|| ||B||

삼각 부등식: ||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||

비음성: ||A|| ≥ 0

질문 2

벡터 $x = (-1, 1, -2)^t$의 $l_\infty$ 노름을 계산하세요.

√6

질문 3

3×3 행렬 $A$에 대해 각 행의 절대값 합이 각각 4, 4, 7이라면 $||A||_\infty$는 얼마입니까?

질문 4

카우시-부냐코브스키-슈바르츠 부등식(정리 7.3)에 따르면, 벡터 $x$와 $y$에 대해 다음 중 어떤 것이 참입니까?

Σ x_i y_i ≤ ||x||₂ ||y||₂

Σ x_i y_i ≤ ||x||∞ ||y||∞

||x + y||₂ ≤ ||x||₂ + ||y||₂

||Ax|| ≤ ||A|| ||x||

질문 5

ℝ⁴ 내의 벡터가 $l_\infty$ 노름이 3일 경우, 정리 7.7에 따르면 그 $l_2$ 노름에 대한 가장 좁은 상한은 무엇입니까?

√3

도전: 수렴과 오차 한계

행렬 노름 분석

반복 방법은 정확한 해가 $\mathbf{x} = (1, 1, 1)^t$인 시스템에 대해 근사값 $\mathbf{\tilde{x}} = (1.2001, 0.99991, 0.92538)^t$를 생성합니다. 또한 $C^{-1} = D^{-1/2}$인 전처리 맥락에서 행렬 $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 3 & 6 & 2 \\ 3 & 3 & 7 \end{bmatrix}$를 고려하세요.

질문 1

정확한 해와 근사해 사이의 $l_2$ 및 $l_\infty$ 거리를 결정하세요.

해답:
1. 오차 벡터 $\mathbf{e} = \mathbf{x} - \mathbf{\tilde{x}} = (-0.2001, 0.00009, 0.07462)^t$를 정의합니다.
2. $\|\mathbf{e}\|_\infty = \max(|-0.2001|, |0.00009|, |0.07462|) = 0.2001$.
3. $\|\mathbf{e}\|_2 = \sqrt{(-0.2001)^2 + (0.00009)^2 + (0.07462)^2} \approx \sqrt{0.04004 + 0 + 0.00557} \approx 0.2136$.

질문 2

행렬 $A$의 $l_\infty$ 노름을 계산하고, $D^{-1/2}$로 스케일링이 노름에 미치는 영향을 설명하세요.

해답:
1. 행렬 $A$의 행합: 행 1: $|3|+|-1|+|1|=5$; 행 2: $|3|+|6|+|2|=11$; 행 3: $|3|+|3|+|7|=13$. 따라서 $\|A\|_\infty = 13$입니다.
2. $D = \text{diag}(3, 6, 7)$에 대해 $D^{-1/2}$로 스케일링하면 새로운 행렬 $A' = D^{-1/2}A$가 됩니다. 각 행 $i$는 $\sqrt{a_{ii}}$로 나누어집니다. 이는 일반적으로 노름을 감소시키며, 반복적 방법에서 다양한 방정식들의 영향을 균형 있게 만들게 됩니다.

질문 3

함수 $\| \mathbf{x} \|_{1} = \sum_{i=1}^{n} |x_i|$가 삼각 부등식 공리(아크시옴)를 만족하는지 확인하세요.

증명:
$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$라고 하겠습니다.
$\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i + y_i|$.
스칼라 삼각 부등식에 의해, 각 $i$에 대해 $|x_i + y_i| \leq |x_i| + |y_i|$입니다.
모든 $i$에 대해 더하면: $\sum |x_i + y_i| \leq \sum (|x_i| + |y_i|) = \sum |x_i| + \sum |y_i|$.
따라서 $\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \|_1 \leq \| \mathbf{x} \|_1 + \| \mathbf{y} \|_1$입니다. 공리가 만족됩니다.